Clasificación de los Problemas Matemáticos II
Continuando con el artículo anterior vamos a hablar de los tipos de problemas de estructura semánticas existentes en Primaria y siguiendo la clasificación que hacen, entre otros, J. Luis Luceño Campos y Jaime Martínez Montero, así como el Equipo de Orientación y Psicopedagógica de Ponferrada.
Dentro de los problemas de estructura aditiva y multiplicativa veremos que existe una gran variedad de situaciones problemáticas, dependiendo de la naturaleza de las cantidades a utilizar,si estas crecen o decrecen o si preguntamos por la cantidad final, por la cantidad resultante de la transformación o por la cantidad inicial.
En este artículo y por su extensión nos centraremos en los de estructura aditiva, de los que nos encontramos con cuatro categorías básicas: de cambio, combinación, comparación e igualación.
Dentro de los problemas de cambio y combinación diferenciaremos en base a que las cantidades utilizadas sean del mismo tipo (cambio) o de distinta naturaleza (combinación).
– En los problemas de estructura multiplicativa tendríamos las siguientes categorías: multiplicación-división-razón, multiplicación-división-escalares y multiplicación-división-combinación (producto cartesiano).
Así pues, en cada problema que veremos a continuación tendremos en cuenta: la categoría y tipo, el nivel de dificultad por edades, ciclo y curso académico, así como ejemplos de cada caso.
– Problemas de suma y resta con una operación
A.- Categoría de CAMBIO y sus tipos
La categoría de CAMBIO (CA): Se trata de problemas en los que se parte de una cantidad, a la que se añade o se le quita otra de la misma naturaleza.
En los problemas de CAMBIO se puede preguntar por la cantidad final, por la cantidad resultante de la transformación, y por la cantidad inicial.
Cada una de estas tres posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: la cantidad crece o decrece.
De aquí surgen los 6 tipos de problemas de CAMBIO:
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TIPO DE PROBLEMAS |
NIVEL ACADÉMICO |
EJEMPLOS |
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CAMBIO 1 (CA1) Problema de sumar. Se conoce cantidad inicial. Se le hace crecer. Se pregunta por la cantidad final. |
1er Ciclo I 1º E. Primaria 6 años. |
«Antonio tenía en su hucha ocho euros. Después de su comunión, metió otros doce euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?» |
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CAMBIO 2 (CA2) Problema de restar: se parte de una cantidad inicial a la que se le hace disminuir. Se pregunta por la cantidad final. |
Ciclo Iº 1º E. Primaria 6 años |
«Antonio tenía en su hucha ocho euros. En su cumpleaños se ha gastado cinco euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?» |
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CAMBIO 3 (CA3) Problema de restar: se conoce la cantidad inicial y se llega, mediante una transformación, a una cantidad final conocida mayor. Se pregunta por el aumento (transformación) |
Ciclo Iº-IIº 2º-3º E. Primaria 7 – 8 años |
«Andrés tenía catorce tazos. Después de jugar ha reunido dieciocho. ¿Cuántos ha ganado?» |
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CAMBIO 4 (CA4) Problema de restar: Se parte de una cantidad inicial y, por una transformación, se llega a una cantidad final conocida y menor que la inicial. Se pregunta por la transformación. |
Ciclo Iº-IIº 2º E. Primaria 7 – 8 años |
«Andrés tenía catorce tazos. Después de jugar le quedan sólo ocho tazos. ¿Cuántos ha perdido?». |
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CAMBIO 5 (CA5) Problema de restar: se tiene que averiguar la cantidad inicial conociendo la cantidad final y lo que ha aumentado. Se pregunta cantidad inicial. |
Ciclo Iº-IIº 2º-3º E. Primaria 8 – 9 años |
«Jugando he ganado 7 canicas, y ahora tengo 11. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?». |
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CAMBIO 6 (CA6) Problema de sumar: se tiene que averiguar la cantidad inicial y se conoce la cantidad final y su disminución. Se pregunta cantidad inicial. |
Ciclo Iº-IIº 2º-3º E. Primaria 8 años |
Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?». |
– Categoría de COMBINACIÓN y sus tipos
La categoría de COMBINACIÓN (CO): se trata de problemas en los que se tienen dos cantidades, las cuales se diferencian en alguna característica.
En los problemas de COMBINACIÓN se puede preguntar por la cantidad total que se obtiene cuando se reúnen las anteriores, o cuando conociendo la total y una de aquellas, se quiere saber cuál es la otra.
De aquí surgen los 2 tipos de problemas de COMBINACIÓN.
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TIPO DE PROBLEMAS |
NIVEL ACADÉMICO |
EJEMPLOS |
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COMBINACIÓN 1 (CO1) Problema de sumar: se conocen las dos partes y se pregunta por el todo. |
1er Ciclo I 1º E. Primaria 6 años. |
«Luisa tiene doce bombones rellenos y cinco normales. ¿Cuántos bombones tiene Luisa en total?» |
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COMBINACIÓN 2 (CO2) Problema conmutativo y de restar: es el problema inverso al anterior, puesto que se conoce el todo y una de las partes, y se pregunta por la otra. |
Ciclo Iº-IIº 2º-3º E. Primaria 8 años |
«Luisa tiene doce bombones contando los rellenos y los normales. Si tiene diez rellenos, ¿cuántos bombones normales tiene Luisa?» |
– Categoría de COMPARACIÓN y sus tipos
La categoría de COMPARACIÓN (CM): Problemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son precisamente esas cantidades y la diferencia que existe entre ellas. De estas dos cantidades, una es la comparada y otra la que sirve de referente. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas.
En los problemas de COMPARACIÓN se puede preguntar por la diferencia si se conocen las dos cantidades, por la cantidad comparada cuando se conocen el referente y la diferencia, o por la cantidad referente, si se conocen la comparada y la diferencia.
Cada una de estas tres posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: si preguntamos por cuántos más o por cuántos menos.
De aquí surgen los 6 tipos de problemas de COMPARACIÓN
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TIPO DE PROBLEMAS |
NIVEL ACADÉMICO |
EJEMPLOS |
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COMPARACIÓN 1 (CM1) Problema de restar: Conocemos las dos cantidades y se pregunta por la diferencia en el sentido del que tiene más. Problema de INCONSISTENTE. Es difícil porque la formulación del problema induce al error, ya que el alumno/a asocia » añadir » a «sumar» |
Ciclo Iº-IIº 3º E. Primaria 8 años |
«Marcos tiene ocho euros. Raquel tiene cinco euros. ¿Cuántos euros más que Raquel tiene Marcos?». |
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COMPARACIÓN 2 (CM2) Problema de restar: conocemos las dos cantidades y se pregunta por la diferencia en el sentido del que tiene menos. |
Ciclo Iº-IIº 1º-3º E. Primaria 6 – 8 años |
«Marcos tiene treinta y siete euros. Raquel tiene doce euros. ¿Cuántos euros tiene Raquel menos que Marcos?» |
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COMPARACIÓN 3 (CM3) Problema de sumar: se conoce la cantidad del 1º y la diferencia «en más» del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º |
Ciclo Iº-IIº 2º-3º E. Primaria 8-9 años |
«Esther tiene ocho euros. Irene tiene cinco euros más que ella. ¿Cuánto dinero tiene Irene?» |
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COMPARACIÓN 4 (CM4) Problema de restar: se conoce la cantidad del 1º y la diferencia «en menos» del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º Problema para el 1er Ciclo de EP. aunque algunos alumnos/as no lo dominan hasta el 2º Ciclo. |
Ciclo Iº 2º E. Primaria 7-8 años
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«Esther tiene ocho euros. Irene tiene cinco euros menos que ella. ¿Cuánto dinero tiene Irene?» |
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COMPARACIÓN 5 (CM5) Problema de restar: se conoce la cantidad del 1º y su diferencia «en más» con la del 2º. Se pregunta por cantidad del 2º Problemas para el 2 – 3º Ciclo de E P, y requiere mucho entrenamiento. |
Ciclo IIº-IIIº 2º-3º E. Primaria 8-11 años |
«Rosa tiene diecisiete euros, y tiene cinco euros más que Carlos. ¿Cuántos euros tiene Carlos?» |
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COMPARACIÓN 6 (CM6) Problema de sumar: se conoce la cantidad del 1º y su diferencia «en menos» con la del 2º. Se pregunta por cantidad del 2º Problemas para el 2º – 3º Ciclo de E P. Y requiere mucho entrenamiento. |
Ciclo IIº-IIIº 2º-3º E. Primaria 8-11 años |
«Rosa tiene diecisiete euros, y tiene cinco euros menos que Carlos. ¿Cuántos euros tiene Carlos?» |
– Categoría de IGUALACIÓN y sus tipos
La categoría de IGUALACIÓN (IG): Problemas que contienen dos cantidades diferentes, sobre una de las cuales se actúa aumentándola o disminuyéndola hasta hacerla igual a la otra, de estas dos cantidades, una es la cantidad a igualar y la otra es la cantidad referente. La transformación que se produce en una de dichas cantidades es la igualación.
La diferenciación con la categoría de comparación está en que cuando se compara no se añade ni se quita nada, cuando se iguala necesariamente se añade o quita algo.
En los problemas de IGUALACIÓN se puede preguntar por la cantidad a igualar, por la referente o por la igualación.
Cada una de estas tres posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: según que la igualación sea de añadir o de quitar.
De aquí surgen los 6 tipos de problemas de IGUALACIÓN.
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TIPO DE PROBLEMAS |
NIVEL ACADÉMICO |
EJEMPLOS |
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IGUALACIÓN 1 (IG1) Problema de restar: conocemos cantidades del 1º y del 2º. Se pregunta por el aumento de la cantidad menor para igualarla a la mayor. Problema INCONSISTENTE. Es difícil porque la formulación del problema induce al error, ya que el alumno/a asocia «añadir » a «sumar». |
Ciclo IIº 3º- 4º E. Primaria 9 – 10 años |
«Marcos tiene ocho euros. Raquel tiene cinco euros. ¿Cuántos euros le tienen que dar a Raquel para que tenga los mismos que Marcos?» |
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IGUALACIÓN 2 (IG2) Problema de restar: conocemos cantidades del 1º y del 2º y se pregunta por la disminución de la cantidad mayor para igualarla a la menor. |
Ciclo IIº 3º- 4º E. Primaria 9 – 10 años |
«Marcos tiene ocho euros. Raquel tiene cinco euros. ¿Cuántos euros tiene que perder Marcos, para tener los mismos que Raquel?» |
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IGUALACIÓN 3 (IG3) Problema de restar muy difícil: conocemos la cantidad del 1º y lo que hay que añadir a la 2º para igualarla con la 1ª. Se pregunta por la cantidad del 2º. Problema INCONSISTENTE. La dificultad principal radica en que refleja una situación de igualación en que, para alcanzar la solución, se debe realizar lo contrario de lo que señala el enunciado. |
Ciclo IIº 3º- 4º E. Primaria 9 – 10 años |
«Juan tiene diecisiete euros. Si Rebeca ganara seis euros, tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene Rebeca? |
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IGUALACIÓN 4 (IG4) Problema de sumar muy difícil: conocemos cantidades del 1º y lo que hay que quitar a la 2º para igualarla con la 1ª. Se pregunta por la cantidad del 2º. Problema INCONSISTENTE. La dificultad principal radica en que refleja una situación de igualación en que, para alcanzar la solución, se debe realizar lo contrario de lo que señala el enunciado. |
Ciclo IIº 3º- 4º E. Primaria 9 – 10 años |
«Juan tiene diecisiete euros. Si Rebeca perdiera seis euros, tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene Rebeca?». |
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IGUALACIÓN 5 (IG5) Problema de sumar: conocemos cantidades del 1º y lo que hay que añadirle para igualarla con la del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º. |
Ciclo IIº-IIIº 3º- 4º-5º E. Pri. 9 – 11 años |
«Marcos tiene ocho euros . Si le dieran cinco euros más, tendría los mismos que tiene Rafael.¿ Cuántos euros tiene Rafael?». |
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IGUALACIÓN 6 (IG6) Problema de restar: conocemos cantidades del 1º y lo que hay que quitarle para igualarla con la del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º. |
Ciclo IIº-IIIº 3º- 4º-5º E. Pri. 9 – 11 años |
«Marcos tiene ocho euros . Si perdiera cinco euros más, tendría los mismos que tiene Rafael.¿ Cuántos euros tiene Rafael?» |
Fuente: «Proyecto de Formación en Centros». Equipo de Orientación Educativa y Psicopedagógica de Ponferrada.
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